Неевклидова геометрия: отрицание пятого постулата
Геометрия, в которой отменён пятый постулат Евклида (о единственной параллельной): вместо него принято, что через точку вне прямой проходит больше одной непересекающей. Из такой замены получается связная система теорем, в которой не возникает противоречия.
К этому выводу независимо друг от друга и почти одновременно пришли русский Николай Лобачевский (1829) и венгр Янош Бойяи (1832). Двухтысячелетняя программа доказательства пятого постулата закрылась: он оказался не теоремой, а выбором.
Отсюда пошло понимание аксиом как свободно выбираемых посылок, а не самоочевидных истин о мире. Вопрос о том, какова геометрия физического пространства, стал опытным, а не априорным.
Почему такая дата
За дату принята первая публикация: «О началах геометрии», «Казанский вестник», 1829-1830. Доклад Лобачевского в Казани 11 (23) февраля 1826 напечатан не был. Бойяи издал «Appendix» в 1832 (оттиск отослан Гауссу 20 июня 1831), Гаусс не публиковал ничего. Саккери (1733) и Ламберт (текст 1766, напечатан 1786) вывели многие теоремы этой геометрии, но своей самостоятельной системой её не признали, поэтому отсчёт ведётся от 1829 года, а не от XVIII века.
Из чего выросло
-
«Начала»: определение, аксиома, доказательство
повлияло на · Уверенность: высокая
Пятый постулат «Начал» и многовековые попытки вывести его из остальных аксиом задали ту самую задачу, которую Лобачевский и Бойяи в 1820-х решили противоположным ходом, приняв отрицание постулата и не встретив противоречия.
Спор: Приоритет спорен, причём первенство публикации и первенство открытия расходятся. Лобачевский напечатал первым (1829-1830), Бойяи в 1832, а Гаусс с 1790-х держал свои выводы при себе, и Стэнфордская философская энциклопедия объясняет это так: «he refrained from publishing for fear of scandal». «Dictionary of Scientific Biography» отдаёт первенство Лобачевскому именно по факту печати: «Since Gauss did not publish his work on the subject, and since Bolyai published only at a later date, Lobachevsky clearly holds priority». Вольф разводит эти две вещи: Лобачевский опубликовал раньше, но само открытие, по Вольфу, сделал позже Бойяи, «But there is ample evidence that he made his discoveries later than Bolyai made his», и местоимение здесь относится к Лобачевскому, а не к Гауссу. Об осведомлённости друг о друге важна привязка ко времени. К моменту казанской публикации 1829-1830 годов о ней за пределами Казани не знали: MacTutor пишет «Neither Bolyai nor Gauss knew of Lobachevsky's work, mainly because it was only published in Russian in the Kazan Messenger a local university publication». Позже положение изменилось: немецкое изложение 1840 года дошло до Гаусса, «This last publication greatly impressed Gauss», а Бойяи прочёл Лобачевского в 1848 году и заподозрил за этим Гаусса. Лобачевский же, по Вольфу, о Бойяи так и не узнал: «there seems to be no evidence that Lobachewsky ever heard of Bolyai». Спорна и роль предшественников: Саккери (1733) и Ламберт (1766) вывели значительную часть теорем этой геометрии, и Пападопулос с Тере называют текст Ламберта самым близким к гиперболической геометрии из всего, что было написано до Лобачевского, однако своей самостоятельной системой ни тот ни другой её не признал.
Источники связи
- Roberto Torretti, Nineteenth Century Geometry, Stanford Encyclopedia of Philosophy (2016) Сверено 20.09.2026
In the 1820's, Nikolai I. Lobachevsky (b. 1793, d. 1856) and Janos Bolyai (b. 1802, d. 1860) independently tackled this question in a radically new way.
- Roberto Torretti, Nineteenth Century Geometry, Stanford Encyclopedia of Philosophy (2016) Сверено 20.09.2026
Girolamo Saccheri (b. 1667, d. 1733) tried reductio. He inferred a long series of propositions from the negation of Euclid's Postulate, until he reached one which he pronounced 'repugnant to the nature of the straight line'.
- Harold E. Wolfe, Introduction to Non-Euclidean Geometry, ch. 3 (Dryden Press) (1945) Сверено 20.09.2026
Slowly but surely they had directed the speculations of geometers to the point where the discovery of Non-Euclidean Geometry could not long be delayed.
- Mathematicians Reconsider Euclid's Parallel Postulate, Science and Its Times (via Encyclopedia.com) (2001) Сверено 20.09.2026
Work on the parallel postulate in the eighteenth century set the stage for the development of non-Euclidean geometries in the nineteenth century.
- Nikolai Ivanovich Lobachevsky, MacTutor History of Mathematics Archive (2000) Сверено 20.09.2026
This last publication greatly impressed Gauss but much has been written about Gauss's role in the discovery of non euclidean geometry which is just simply false.
«Сверено» значит, что в этот день цитата была найдена по указанному адресу дословно. Отсутствие даты значит, что мы пока не смогли открыть источник, а не что цитата неверна.
- Roberto Torretti, Nineteenth Century Geometry, Stanford Encyclopedia of Philosophy (2016) Сверено 20.09.2026
Другие связи
-
Геометрия многообразий и кривизна (Риман)
параллельно с · Уверенность: средняя
Риман независимо пришёл к пространствам постоянной отрицательной кривизны и включил геометрию Лобачевского как частный случай в общую схему многообразий, хотя прямого влияния Лобачевского и Бойяи на лекцию 1854 года историки не подтверждают.
Спор: Историки расходятся в том, знал ли Риман работы Лобачевского и Бойяи. Шольц это отрицает: «he apparently had no knowledge of Bolyai's or Lobachevsky's studies in the foundations of geometry», и выводит корни лекции из гауссовой теории поверхностей и философии Гербарта. Боттаццини и Таццьоли осторожно допускают обратное: «However one can argue that Riemann probably knew Lobachevsky's geometry, at least in the version that appeared in that Journal», отмечая при этом, что в самой лекции ссылок на Бойяи и Лобачевского нет. Расходится и распространённое представление о родстве неевклидовой геометрии со специальной теорией относительности 1905 года: Уолтер пишет, что «Up until the time of Minkowski's space-time theory, however, non-Euclidean geometry appeared to be irrelevant to physics», и что в 1905 году «physicists generally presented their results in mechanics and electrodynamics using either Cartesian coordinate or vector methods». Неевклидов язык вошёл в релятивистскую физику через Минковского (1907-1908) и Варичака (1910), то есть уже после 1905 года, а риманова геометрия стала физикой только в общей теории относительности: по словам Стэнфордской философской энциклопедии, «Klein's Erlangen program failed to cover the differential geometry of Riemann (§5), which Einstein (1915, 1916) placed at the core of his general theory of relativity».
Источники связи
- Roberto Torretti, Nineteenth Century Geometry, Stanford Encyclopedia of Philosophy (2016) Сверено 20.09.2026
Regarded as Riemannian 3-manifolds, Euclidean space has constant zero curvature, Lobachevskian space has constant negative curvature, and elliptic space has constant positive curvature.
- Erhard Scholz, The Concept of Manifold, 1850-1950 (in History of Topology, ed. I. M. James) (1999) Сверено 20.09.2026
Riemann even sketched such a reduction in the last section of his talk, although he apparently had no knowledge of Bolyai's or Lobachevsky's studies in the foundations of geometry.
- Umberto Bottazzini, Rossana Tazzioli, Naturphilosophie and its role in Riemann's mathematics, Revue d'histoire des mathématiques 1 (1995) Сверено 20.09.2026
Nor did he refer to the work of Bolyai and Lobachevsky, even though a paper of the latter had appeared in 1837 in Crelle's Journal.
«Сверено» значит, что в этот день цитата была найдена по указанному адресу дословно. Отсутствие даты значит, что мы пока не смогли открыть источник, а не что цитата неверна.
- Roberto Torretti, Nineteenth Century Geometry, Stanford Encyclopedia of Philosophy (2016) Сверено 20.09.2026
Источники узла
- Roberto Torretti, Nineteenth Century Geometry, Stanford Encyclopedia of Philosophy (2016) Сверено 20.09.2026
In the 1820's, Nikolai I. Lobachevsky (b. 1793, d. 1856) and Janos Bolyai (b. 1802, d. 1860) independently tackled this question in a radically new way.
- Roberto Torretti, Nineteenth Century Geometry, Stanford Encyclopedia of Philosophy (2016) Сверено 20.09.2026
Since Lobachevsky was the first to publish, the system of geometry based on the said 'absolute geometry' plus the negation of Euclid's Postulate is properly called Lobachevskian geometry.
- Rosenfeld B. A. «Lobachevsky, Nikolai Ivanovich», Dictionary of Scientific Biography (via Encyclopedia.com) (1973) Сверено 20.09.2026
Since Gauss did not publish his work on the subject, and since Bolyai published only at a later date, Lobachevsky clearly holds priority.
- Nikolai Ivanovich Lobachevsky, MacTutor History of Mathematics Archive (2000) Сверено 20.09.2026
On 11 February 1826, in the session of the Department of Physico-Mathematical Sciences at Kazan University, Lobachevsky requested that his work about a new geometry was heard and his paper A concise outline of the foundations of geometry was sent to referees.
- Athanase Papadopoulos, Guillaume Théret, Hyperbolic geometry in the work of J. H. Lambert (2015) Сверено 20.09.2026
This was sixty years before the first writings of Lobachevsky and Bolyai appeared in print.
«Сверено» значит, что в этот день цитата была найдена по указанному адресу дословно. Отсутствие даты значит, что мы пока не смогли открыть источник, а не что цитата неверна.