Геометрия многообразий и кривизна (Риман)
Геометрия, в которой пространство рассматривается как n-мерное многообразие с метрикой, задаваемой отдельно от самого многообразия и определяемой опытом, а не выводимой из природы протяжённости.
Построил её немец Бернхард Риман (пробная лекция 1854 года, издана посмертно в 1868). Перенеся гауссову кривизну поверхностей на многообразия любого числа измерений, он получил классификацию пространств постоянной кривизны, где евклидово (нулевая), лобачевское (отрицательная) и эллиптическое (положительная) оказываются частными случаями одной схемы.
Частный контрпример к пятому постулату превратился в одну точку непрерывного семейства геометрий, а вопрос «какова геометрия мира» стал вопросом о значении функции кривизны. Именно на этом языке через полвека будет написана общая теория относительности.
Почему такая дата
За дату принято первое зафиксированное изложение: пробная лекция «Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen», прочитанная в Гёттингене 10 июня 1854 года. Год печати источники дают по-разному: Стэнфордская философская энциклопедия и «Dictionary of Scientific Biography» пишут 1867, MacTutor 1868 (том 13 «Abhandlungen» Гёттингенского общества, датированный 1867 и вышедший в 1868). При жизни Римана текст не публиковался.
Другие связи
-
Неевклидова геометрия: отрицание пятого постулата
параллельно с · Уверенность: средняя
Риман независимо пришёл к пространствам постоянной отрицательной кривизны и включил геометрию Лобачевского как частный случай в общую схему многообразий, хотя прямого влияния Лобачевского и Бойяи на лекцию 1854 года историки не подтверждают.
Спор: Историки расходятся в том, знал ли Риман работы Лобачевского и Бойяи. Шольц это отрицает: «he apparently had no knowledge of Bolyai's or Lobachevsky's studies in the foundations of geometry», и выводит корни лекции из гауссовой теории поверхностей и философии Гербарта. Боттаццини и Таццьоли осторожно допускают обратное: «However one can argue that Riemann probably knew Lobachevsky's geometry, at least in the version that appeared in that Journal», отмечая при этом, что в самой лекции ссылок на Бойяи и Лобачевского нет. Расходится и распространённое представление о родстве неевклидовой геометрии со специальной теорией относительности 1905 года: Уолтер пишет, что «Up until the time of Minkowski's space-time theory, however, non-Euclidean geometry appeared to be irrelevant to physics», и что в 1905 году «physicists generally presented their results in mechanics and electrodynamics using either Cartesian coordinate or vector methods». Неевклидов язык вошёл в релятивистскую физику через Минковского (1907-1908) и Варичака (1910), то есть уже после 1905 года, а риманова геометрия стала физикой только в общей теории относительности: по словам Стэнфордской философской энциклопедии, «Klein's Erlangen program failed to cover the differential geometry of Riemann (§5), which Einstein (1915, 1916) placed at the core of his general theory of relativity».
Источники связи
- Roberto Torretti, Nineteenth Century Geometry, Stanford Encyclopedia of Philosophy (2016) Сверено 20.09.2026
Regarded as Riemannian 3-manifolds, Euclidean space has constant zero curvature, Lobachevskian space has constant negative curvature, and elliptic space has constant positive curvature.
- Erhard Scholz, The Concept of Manifold, 1850-1950 (in History of Topology, ed. I. M. James) (1999) Сверено 20.09.2026
Riemann even sketched such a reduction in the last section of his talk, although he apparently had no knowledge of Bolyai's or Lobachevsky's studies in the foundations of geometry.
- Umberto Bottazzini, Rossana Tazzioli, Naturphilosophie and its role in Riemann's mathematics, Revue d'histoire des mathématiques 1 (1995) Сверено 20.09.2026
Nor did he refer to the work of Bolyai and Lobachevsky, even though a paper of the latter had appeared in 1837 in Crelle's Journal.
«Сверено» значит, что в этот день цитата была найдена по указанному адресу дословно. Отсутствие даты значит, что мы пока не смогли открыть источник, а не что цитата неверна.
- Roberto Torretti, Nineteenth Century Geometry, Stanford Encyclopedia of Philosophy (2016) Сверено 20.09.2026
Источники узла
- Roberto Torretti, Nineteenth Century Geometry, Stanford Encyclopedia of Philosophy (2016) Сверено 20.09.2026
In a lecture 'On the hypotheses that lie at the foundation of geometry', delivered to the Faculty of Philosophy at Göttingen in 1854 and posthumously published in 1867, Bernhard Riemann (b. 1826, d. 1866) presented some radically innovative views on this matter.
- Roberto Torretti, Nineteenth Century Geometry, Stanford Encyclopedia of Philosophy (2016) Сверено 20.09.2026
In his study of curved surfaces, Gauss introduced a real-valued function, the Gaussian curvature, which measures a surface's local deviation from flatness in terms of the surface's intrinsic geometry. Riemann extended this concept of curvature to Riemannian n-manifolds.
- Erhard Scholz, The Concept of Manifold, 1850-1950 (in History of Topology, ed. I. M. James) (1999) Сверено 20.09.2026
When Riemann presented his ideas on a geometry in manifolds the first time to a scientific audience in his famous Habilitationsvortrag (Riemann, 1854), he was completely aware that he was working in a border region between mathematics, physics, and philosophy.
- Freudenthal H. «Riemann, Bernhard», Dictionary of Scientific Biography (via Encyclopedia.com) (1975) Сверено 20.09.2026
Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen
«Сверено» значит, что в этот день цитата была найдена по указанному адресу дословно. Отсутствие даты значит, что мы пока не смогли открыть источник, а не что цитата неверна.