Алгебра как отдельный метод
Наука о том, как решать уравнения и преобразовывать их, независимо от того, что они описывают. В трактате аль-Хорезми «Китаб аль-джабр ва-ль-мукабала» (Багдад, около 820) описаны шесть канонических типов линейных и квадратных уравнений и две операции приведения, аль-джабр (восполнение) и аль-мукабала (противопоставление). Всё изложено словами, без символов, даже числа записаны словами.
Рашед считает эту книгу началом алгебры как самостоятельной дисциплины; Тумер и Кроссли оценивают оригинальность аль-Хорезми много ниже, и спор не закрыт. От названия книги произошло слово «алгебра», от латинизированного имени автора «алгоритм».
Латинский перевод XII века принёс метод в Европу.
Почему такая дата
приблизительная. «Китаб аль-джабр ва-ль-мукабала» написана при халифе аль-Мамуне (813-833); Britannica датирует «около 825»
Из чего выросло
-
Греко-арабское переводческое движение в Багдаде
повлияло на · Уверенность: средняя
Аль-Хаджжадж, коллега аль-Хорезми по багдадскому кругу переводчиков, ещё при Харуне ар-Рашиде перевёл «Начала» Евклида на арабский; геометрические фигуры, которыми аль-Хорезми объясняет решение уравнений, по мнению Тумера говорят о знакомстве со второй книгой «Начал», а Рашед считает, что его изложение, весьма вероятно, вдохновлено недавним знакомством с «Началами».
Спор: Спорят дважды. Во-первых, о самом «Доме мудрости»: MacTutor и общая традиция помещают туда аль-Хорезми и переводчиков, Гутас (1998) считает байт аль-хикма дворцовой библиотекой, к переводам с греческого прямого отношения не имевшей; связь при этом идёт к переводческому движению, а не к учреждению. Во-вторых, о самой зависимости: Тумер и Рашед видят в геометрических доказательствах аль-Хорезми след «Начал», а Гандз (по MacTutor) пишет, что «Начала» по духу и букве аль-Хорезми совершенно неизвестны, у него нет ни определений, ни аксиом, ни доказательств евклидова типа. Сам MacTutor заключает, что аль-Хорезми в любом случае опирался на другие геометрические сочинения, в том числе еврейские и индийские.
Источники связи
- MacTutor History of Mathematics, «Abu Ja'far Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi» (перевод «Начал» аль-Хаджжаджем, коллегой аль-Хорезми) Сверено 05.10.2026
In al-Rashid's reign, while al-Khwarizmi was still young, al-Hajjaj had translated Euclid's Elements into Arabic and al-Hajjaj was one of al-Khwarizmi's colleagues in the House of Wisdom.
- MacTutor History of Mathematics, «Abu Ja'far Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi» (Тумер, Dictionary of Scientific Biography, цитата из вторых рук) Сверено 05.10.2026
in his introductory section al-Khwarizmi uses geometrical figures to explain equations, which surely argues for a familiarity with Book II of Euclid's "Elements".
- MacTutor History of Mathematics, «Abu Ja'far Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi» (Рашед, цитата из вторых рук) Сверено 05.10.2026
treatment was very probably inspired by recent knowledge of the "Elements".
«Сверено» значит, что в этот день цитата была найдена по указанному адресу дословно. Отсутствие даты значит, что мы пока не смогли открыть источник, а не что цитата неверна.
- MacTutor History of Mathematics, «Abu Ja'far Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi» (перевод «Начал» аль-Хаджжаджем, коллегой аль-Хорезми) Сверено 05.10.2026
Что из него выросло
-
Десятичные дроби в вычислениях
повлияло на · Уверенность: средняя
В арабской традиции десятичные дроби развивались в школе аль-Караджи для приближения корней в алгебраических задачах (ас-Самавал, 1172), а Стевин, выпустивший «De Thiende» одновременно с «L'Arithmetique», распространил на все числа, включая корни, единые правила действий.
Спор: Европейская линия десятичных дробей шла не через алгебру: по DSB (Minnaert) до Стевина они «нашли лишь случайное применение в тригонометрических таблицах», а Van Brummelen (2024) нашёл десятичную запись дробей и десятичную точку в таблицах Бьянкини 1440-х годов. Прямой зависимости Стевина от арабских авторов не показано; утверждение Muslim Heritage, что Стевин «узнал арабские методы», источником не подкреплено. Первый систематический труд Стевина о десятичных разложениях корней многочленов вышел позже «De Thiende» (1594, Fowler), то есть у самого Стевина дроби предшествуют алгебраическому применению.
Источники связи
- O'Connor J. J., Robertson E. F. «Al-Kashi», MacTutor History of Mathematics (со ссылкой на Rashed) (1999) Сверено 20.09.2026
The usage of decimal fractions no longer for approaching algebraic real numbers, but for real numbers such as π
- Katz K. U., Katz M. G. «Stevin numbers and reality», Foundations of Science 17(2), 109-123 (цитируют Fowler D., American Mathematical Monthly 99, 1992, с. 733) (2012) Сверено 20.09.2026
The belief that all arithmetic operations, as well as extracting roots, etc., should follow the 'same' rules as the rationals, originates precisely with Stevin
- FSTC, «Decimal Arithmetic», Muslim Heritage (2007) Сверено 20.09.2026
Al-Samawal (1172) considered decimal fractions in problems of division and extraction of roots.
«Сверено» значит, что в этот день цитата была найдена по указанному адресу дословно. Отсутствие даты значит, что мы пока не смогли открыть источник, а не что цитата неверна.
- O'Connor J. J., Robertson E. F. «Al-Kashi», MacTutor History of Mathematics (со ссылкой на Rashed) (1999) Сверено 20.09.2026
-
Аналитическая геометрия
нужно для · Уверенность: высокая
Аналитическая геометрия есть применение алгебры к кривым: Декарт и Ферма исходили из символьной алгебры и теории уравнений Виета, которая сама выросла из алгебры аль-Хорезми; без алгебраического языка запись кривой уравнением невозможна.
Спор: Разногласий среди историков нет, но ближайший источник Декарта и Ферма это символьная алгебра Виета («In artem analyticem isagoge», 1591), а не риторическая алгебра аль-Хорезми 820 года.
Источники связи
- Knorr W. R. et al. «Mathematics: Analytic geometry», Encyclopaedia Britannica (2024) Сверено 20.09.2026
After Viète's death the analytic art was applied to the study of curves by his countrymen Fermat and Descartes.
- Mahoney M. S. «Fermat, Pierre de», Dictionary of Scientific Biography (via Encyclopedia.com) (1971) Сверено 20.09.2026
From Viète he took the new symbolic algebra and theory of equations that served as his basic research tools
- Domski M. «Descartes' Mathematics», Stanford Encyclopedia of Philosophy, §3.1 (пересказ слов Декарта из письма Мерсенну, декабрь 1637, AT I, 479, а не оценка Домски) (2021) Сверено 20.09.2026
his program for geometry begins where Viète's left off
- O'Connor J. J., Robertson E. F. «René Descartes», MacTutor History of Mathematics (2014) Сверено 20.09.2026
La géométrie, includes his application of algebra to geometry from which we now have Cartesian geometry.
«Сверено» значит, что в этот день цитата была найдена по указанному адресу дословно. Отсутствие даты значит, что мы пока не смогли открыть источник, а не что цитата неверна.
- Knorr W. R. et al. «Mathematics: Analytic geometry», Encyclopaedia Britannica (2024) Сверено 20.09.2026
-
«Liber abaci»: индийские цифры и арабская алгебра в латинской книге
повлияло на · Уверенность: высокая
Алгебраическая часть «Liber abaci» построена на задачах аль-Хорезми: числовые примеры взяты в основном из его алгебры и из аль-Караджи.
Источники связи
- Vogel K. «Fibonacci, Leonardo, or Leonardo of Pisa», Dictionary of Scientific Biography, vol. 4, New York: Scribner, 1971, через encyclopedia.com (1971) Сверено 04.10.2026
The numerical examples are taken largely from the algebra of al-Khw
- Karpinski L. C. «Robert of Chester's Latin Translation of the Algebra of al-Khowarizmi», New York: Macmillan, 1915, p. 34 (1915), 34 Сверено 04.10.2026
Woepcke has shown that Leonard drew many of his problems from Al-Khowarizmi
«Сверено» значит, что в этот день цитата была найдена по указанному адресу дословно. Отсутствие даты значит, что мы пока не смогли открыть источник, а не что цитата неверна.
- Vogel K. «Fibonacci, Leonardo, or Leonardo of Pisa», Dictionary of Scientific Biography, vol. 4, New York: Scribner, 1971, через encyclopedia.com (1971) Сверено 04.10.2026
Источники узла
- O'Connor J. J., Robertson E. F. «Al-Khwarizmi», MacTutor History of Mathematics (подтверждает: этимология «алгебры» и «алгоритма», книга как первая по алгебре) (1999) Сверено 20.09.2026
The word algorithm derives from his name. His algebra treatise Hisab al-jabr w'al-muqabala gives us the word algebra and can be considered as the first book to be written on algebra.
- O'Connor J. J., Robertson E. F. «Al-Khwarizmi», MacTutor History of Mathematics (подтверждает: шесть канонических типов и изложение словами, без символов) (1999) Сверено 20.09.2026
Al-Khwarizmi's mathematics is done entirely in words with no symbols being used. He first reduces an equation (linear or quadratic) to one of six standard forms: 1. Squares equal to roots. 2. Squares equal to numbers. 3. Roots equal to numbers. 4. Squares and roots equal to numbers; e.g. x2+10x=39. 5. Squares and numbers equal to roots; e.g. x2+21=10x. 6. Roots and numbers equal to squares
- O'Connor J. J., Robertson E. F. «Al-Khwarizmi», MacTutor History of Mathematics (подтверждает: что означают аль-джабр и аль-мукабала) (1999) Сверено 20.09.2026, цитата собрана из фрагментов
The reduction is carried out using the two operations of al-jabr and al-muqabala. Here "al-jabr" means "completion" and is the process of removing negative terms from an equation... The term "al-muqabala" means "balancing" and is the process of reducing positive terms of the same power when they occur on both sides of an equation.
- O'Connor J. J., Robertson E. F. «Al-Khwarizmi», MacTutor History of Mathematics (подтверждает: оценка Рашеда, на которую ссылается текст узла) (1999) Сверено 20.09.2026, цитата собрана из фрагментов
Al-Khwarizmi's concept of algebra can now be grasped with greater precision: it concerns the theory of linear and quadratic equations with a single unknown, and the elementary arithmetic of relative binomials and trinomials... From its true emergence, algebra can be seen as a theory of equations solved by means of radicals, and of algebraic calculations on related expressions.
- Britannica, «Algebra», раздел «Islamic contributions» (подтверждает: датировка «около 825» и латинский перевод XII века) (2024) Сверено 24.09.2026
Islamic contributions to mathematics began around AD 825, when the Baghdad mathematician Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi wrote his famous treatise al-Kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wa'l-muqabala (translated into Latin in the 12th century as Algebra et Almucabal, from which the modern term algebra is derived).
«Сверено» значит, что в этот день цитата была найдена по указанному адресу дословно. Отсутствие даты значит, что мы пока не смогли открыть источник, а не что цитата неверна. «Собрана из фрагментов» значит, что на странице эти слова стоят не рядом: мы нашли каждый фрагмент по отдельности и соединили их многоточием.
Дальнейшее чтение
Не свидетельства: цитаты не несут и написанного не подтверждают. Это книги и сканы, куда идти дальше.
- Boyer C. B. «A History of Mathematics», 2nd ed., глава «The Arabic Hegemony», с. 228-229 (1991)
- Rashed R. «Al-Khwarizmi: The Beginnings of Algebra», Saqi Books (2009)