Дифференциальное и интегральное исчисление
Общий алгоритм для касательных, скоростей и площадей: дифференцирование и интегрирование как взаимно обратные операции над уравнениями кривых.
Английский физик Исаак Ньютон построил метод флюксий в 1665-1666 годах, но его рукописи (трактат 1666 года, «De analysi» 1669) ходили в списках и были напечатаны лишь в XVIII веке. Немец Готфрид Лейбниц независимо пришёл к своему исчислению в 1675 году и напечатал его в 1684 году в Acta Eruditorum.
Спор о приоритете дошёл до комиссии Королевского общества (1712), отчёт которой написал сам Ньютон; сегодня историки считают оба открытия независимыми.
Почему такая дата
для оси взята первая публикация: статья Лейбница «Nova methodus pro maximis et minimis» в Acta Eruditorum, 1684. Ньютон разработал метод флюксий в 1665-1666 годах (трактат октября 1666, «De analysi» 1669, «De methodis» 1671), но эти рукописи напечатаны только в 1711 и 1736
Из чего выросло
-
Аналитическая геометрия
нужно для · Уверенность: высокая
Исчисление Ньютона и Лейбница есть алгоритм над уравнениями кривых; Ньютон учился математике по латинскому изданию «Геометрии» Декарта (ван Схоотен), Лейбниц по списку Гюйгенса, включавшему Декарта, и историки называют аналитическую геометрию необходимым каркасом исчисления.
Спор: Домски (SEP, §3.3) подчёркивает, что Декарт исключил из своей программы бесконечно малые и «механические» кривые, то есть «устранил из своей геометрической программы те самые элементы математического и геометрического рассуждения, которые позволили Ньютону и Лейбницу создать исчисление» (Domski: «Descartes eliminated from his geometrical program the very elements of mathematical and geometrical reasoning that made it possible for Newton and Leibniz to develop the calculus»). Поэтому Декарт был нужен исчислению как алгебраический язык кривых, а не как источник идеи бесконечно малых, которая шла от Кавальери, Ферма, Валлиса и Барроу.
Источники связи
- Smith G. «Isaac Newton», Stanford Encyclopedia of Philosophy (2007) Сверено 20.09.2026, цитата собрана из фрагментов
By early 1664 he had also begun teaching himself mathematics, taking notes on works by Oughtred, Viète, Wallis, and Descartes ... the latter via van Schooten's Latin translation, with commentary, of the Géométrie.
- «The Development of Analytic Geometry», Science and Its Times (Gale), via Encyclopedia.com (2001) Сверено 20.09.2026
provided the essential framework for the calculus of Isaac Newton and Gottfried Leibniz
- Cambridge University Library, exhibition «Footprints of the Lion», section «Calculation» Сверено 20.09.2026
The young Newton owed his greatest intellectual debt to the French mathematician and natural philosopher, René Descartes.
- O'Connor J. J., Robertson E. F. «Gottfried Wilhelm von Leibniz», MacTutor History of Mathematics (1998) Сверено 20.09.2026
Huygens who gave him a reading list including works by Pascal, Fabri, Gregory, Saint-Vincent, Descartes and Sluze.
«Сверено» значит, что в этот день цитата была найдена по указанному адресу дословно. Отсутствие даты значит, что мы пока не смогли открыть источник, а не что цитата неверна. «Собрана из фрагментов» значит, что на странице эти слова стоят не рядом: мы нашли каждый фрагмент по отдельности и соединили их многоточием.
- Smith G. «Isaac Newton», Stanford Encyclopedia of Philosophy (2007) Сверено 20.09.2026, цитата собрана из фрагментов
Что из него выросло
-
Язык анализа: функция как основной объект
улучшило · Уверенность: высокая
Исчисление Ньютона и Лейбница существовало как набор приёмов, и именно «Introductio» 1748 года собрала его в систему, где функция стала явным и центральным объектом.
Источники связи
- Carl B. Boyer, The Foremost Textbook of Modern Times, доклад на Международном конгрессе математиков 1950 года, затем American Mathematical Monthly 58 (4), 223-226 (текст на MacTutor) (1951) Сверено 20.09.2026
yet it was the Introductio which in 1748 fashioned these into the third member of the triumvirate
- Israel Kleiner, Evolution of the Function Concept: A Brief Survey, The College Mathematics Journal 20 (4), 282-300 (1989) Сверено 20.09.2026
Euler's Introductio was the first work in which the concept of function plays an explicit and central role
- Introduction to the Analysis of Infinities, Encyclopaedia Britannica (2024) Сверено 24.09.2026
he made the notion of function the central organizing concept of analysis
«Сверено» значит, что в этот день цитата была найдена по указанному адресу дословно. Отсутствие даты значит, что мы пока не смогли открыть источник, а не что цитата неверна.
- Carl B. Boyer, The Foremost Textbook of Modern Times, доклад на Международном конгрессе математиков 1950 года, затем American Mathematical Monthly 58 (4), 223-226 (текст на MacTutor) (1951) Сверено 20.09.2026
-
Волновое уравнение и спор о звучащей струне
повлияло на · Уверенность: средняя
Волновое уравнение записано в частных производных, то есть выросло из дифференциального исчисления, распространённого на функции нескольких переменных: сам этот аппарат складывался уже после 1684 года, ясные примеры таких уравнений известны с 1719 года.
Источники связи
- Jesper Lützen, Euler's Vision of a General Partial Differential Calculus for a Generalized Kind of Function, Mathematics Magazine 56 (5), перепечатано в Sherlock Holmes in Babylon, MAA, 354-360 (1983) Сверено 20.09.2026
the type of functions which could be allowed in analysis, particularly in the new partial differential calculus
- Florian Cajori, The Early History of Partial Differential Equations and of Partial Differentiation and Integration, American Mathematical Monthly 35 (9), 459-467 (1928) Сверено 20.09.2026
Partial differential equations stand out clearly in six examples on trajectories published in 1719 by Nicolaus Bernoulli
«Сверено» значит, что в этот день цитата была найдена по указанному адресу дословно. Отсутствие даты значит, что мы пока не смогли открыть источник, а не что цитата неверна.
- Jesper Lützen, Euler's Vision of a General Partial Differential Calculus for a Generalized Kind of Function, Mathematics Magazine 56 (5), перепечатано в Sherlock Holmes in Babylon, MAA, 354-360 (1983) Сверено 20.09.2026
-
Аналитическая теория теплоты и ряды Фурье
повлияло на · Уверенность: средняя
Фурье работал средствами анализа, выросшего из исчисления Ньютона и Лейбница, и прямо продолжал работу Бернулли, Эйлера и Лагранжа с тригонометрическими рядами, хотя уравнению теплопроводности потребовался более поздний аппарат уравнений в частных производных.
Источники связи
- T. N. Narasimhan, Fourier's heat conduction equation: history, influence, and connections, Reviews of Geophysics 37 (1), 151-172 (1999)
Fourier was clearly aware of the earlier work of Bernoulli, Euler, and Lagrange relating to solutions in the form of trigonometric series. He was also aware that Euler, D'Alembert and Lagrange viewed trigonometric series with great suspicion.
- Joseph Fourier, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (1997) Сверено 20.09.2026
The first objection, made by Lagrange and Laplace in 1808, was to Fourier's expansions of functions as trigonometrical series, what we now call Fourier series.
«Сверено» значит, что в этот день цитата была найдена по указанному адресу дословно. Отсутствие даты значит, что мы пока не смогли открыть источник, а не что цитата неверна.
- T. N. Narasimhan, Fourier's heat conduction equation: history, influence, and connections, Reviews of Geophysics 37 (1), 151-172 (1999)
Связи на проверке
-
«Математические начала натуральной философии»
повлияло на · Уверенность: средняя
Связь раннего исчисления Ньютона с «Началами» оспаривается: Уайтсайд не нашёл черновиков, подтверждающих слова Ньютона 1715 года о том, что предложения найдены анализом; источники подтверждают только присутствие «моментов» и рядов.
В «Начала» вошли понятия предела и «моментов» из ранних работ Ньютона по исчислению, но сам аппарат исчисления в книге не используется: она написана языком геометрии предельных отношений, а не алгоритмом флюксий.
Спор: Сам Ньютон в 1715 году (анонимный «Account» в споре с Лейбницем) утверждал, что нашёл предложения «Начал» новым анализом и лишь затем переписал геометрически. Уайтсайд, издатель математических рукописей Ньютона, не нашёл ни одного черновика, подтверждающего это; Гвиччардини (1989, 1999) и Стэнфордская энциклопедия описывают математику «Начал» как геометрию предельных отношений без алгоритма флюксий. С другой стороны, раздел I книги I (леммы о «первых и последних отношениях») и лемма II книги II о «моментах» суть исчисление в геометрической форме, и в этом смысле без работ Ньютона 1665-1671 годов книга была бы другой. Дополнительная трудность: исчисление отсчитывается от публикации Лейбница 1684 года, которой Ньютон при написании «Начал» не пользовался, так что преемственность имеет смысл только через собственные неопубликованные флюксии Ньютона.
Источники связи
- Guicciardini N. The Development of Newtonian Calculus in Britain, 1700-1800. Cambridge University Press, p. 1 (1989) Сверено 05.10.2026
In the Principia there was no proper algorithm of fluxions, even though series and some algebraical manipulations with 'moments' occurred, especially in the second book.
- Smith G. E., «Newton's Philosophiae Naturalis Principia Mathematica», Stanford Encyclopedia of Philosophy (2007) Сверено 20.09.2026
But the geometric mathematics used in the Principia offered no way of representing second derivatives.
- Newton I. «An Account of the Book entituled Commercium Epistolicum», Philosophical Transactions 29 (1715), цит. по The Renaissance Mathematicus, «Newton Lied!» (1715) Сверено 20.09.2026
By the help of the new Analysis Mr. Newton found out most of the Prepositions in his Principia Philosophiae: but because the Ancients for making things certain admitted nothing into Geometry before it was demonstrated synthetically, he demonstrated the Propositions synthetically, that the System of the Heavens might be founded upon good Geometry.
«Сверено» значит, что в этот день цитата была найдена по указанному адресу дословно. Отсутствие даты значит, что мы пока не смогли открыть источник, а не что цитата неверна.
- Guicciardini N. The Development of Newtonian Calculus in Britain, 1700-1800. Cambridge University Press, p. 1 (1989) Сверено 05.10.2026
Источники узла
- Smith G. «Isaac Newton», Stanford Encyclopedia of Philosophy (2007) Сверено 20.09.2026
having extended his earlier examination of cutting-edge problems into the discovery of the calculus, as presented in his tract of October 1666
- O'Connor J. J., Robertson E. F. «Gottfried Wilhelm von Leibniz», MacTutor History of Mathematics (1998) Сверено 20.09.2026, цитата собрана из фрагментов
In 1684 Leibniz published details of his differential calculus in Nova Methodus pro Maximis et Minimis, itemque Tangentibus... in Acta Eruditorum.
- «Mathematics: The calculus», Encyclopaedia Britannica (2024) Сверено 24.09.2026
Although a bitter dispute over priority developed later between followers of the two men, it is now clear that they each arrived at the calculus independently.
- O'Connor J. J., Robertson E. F. «Isaac Newton», MacTutor History of Mathematics (2000) Сверено 20.09.2026
Newton's De Methodis Serierum et Fluxionum was written in 1671 but Newton failed to get it published and it did not appear in print until John Colson produced an English translation in 1736.
«Сверено» значит, что в этот день цитата была найдена по указанному адресу дословно. Отсутствие даты значит, что мы пока не смогли открыть источник, а не что цитата неверна. «Собрана из фрагментов» значит, что на странице эти слова стоят не рядом: мы нашли каждый фрагмент по отдельности и соединили их многоточием.