Метод наименьших квадратов

1805 (1809) Число и мера метод

Поделиться

Правило: из расходящихся наблюдений берут те значения параметров, при которых сумма квадратов невязок минимальна. Избыток измерений из помехи превращается в ресурс.

Напечатал правило в 1805 году француз Адриен Мари Лежандр. Немец Карл Фридрих Гаусс в 1809 году дал ему вероятностное обоснование, связав с распределением ошибок, и утверждал, что применяет метод с 1795 года; спор о приоритете длился десятилетиями.

Метод стал стандартной вычислительной техникой астрономии и геодезии XIX века: чем больше измерений, тем точнее оценка.

Почему такая дата

За дату принята первая публикация: приложение «Sur la méthode des moindres quarrés» к книге Лежандра «Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes», Париж, 1805. Гаусс напечатал метод в 1809 году в «Theoria motus» и утверждал, что пользуется им с 1795 года; печатного следа до 1805 года у него нет, но Стиглер, разбирая документы, склоняется к тому, что метод у Гаусса действительно был раньше, оговаривая недоказанность. Приоритет остаётся спорным.

Из чего выросло

• Законы движения планет

  повлияло на · Уверенность: средняя

  Обе основополагающие публикации метода это работы об определении орбит по избыточным и расходящимся наблюдениям, и Гаусс в предисловии «Theoria motus» прямо выводит свою задачу из кеплеровского извлечения элементов орбиты из наблюдений Тихо Браге.

  Спор: Преемственность от задачи определения орбит известна из предисловия самого Гаусса, то есть из свидетельства участника, а не из независимого разбора историка. Спорен и приоритет метода. За Лежандра говорит печать: он опубликовал метод первым, в 1805 году, и писал Гауссу «je n'ai jamais appelé principium nostrum un principe qu'un autre avait publié avant moi». За Гаусса говорят его собственное заявление в «Theoria motus» 1809 года («my principle, which I have made use of since 1795»), запись в дневнике от 17 июня 1798 года и разбор Стиглера, который склоняется к тому, что метод был у Гаусса задолго до Лежандра, но прямо оговаривает, что доказательным это признать нельзя.

  Источники связи

  • Carl Friedrich Gauss, Theory of the Motion of the Heavenly Bodies Moving about the Sun in Conic Sections, перевод Charles Henry Davis, Boston, предисловие (1857) Сверено 20.09.2026

    After the laws of planetary motion were discovered, the genius of Kepler was not without resources for deriving from observations the elements of motion of individual planets.

  • A. Abdulle, G. Wanner, 200 years of least squares method, Elemente der Mathematik 57, 45-60 (2002) Сверено 20.09.2026

    In 1805 appeared the work Nouvelles méthodes pour la determination des orbites des comètes by A.-M. Legendre, containing in an appendix an extremely beautiful presentation of the méthode des moindres quarrés.

  • Stephen M. Stigler, Gauss and the Invention of Least Squares, Annals of Statistics 9 (3), 465-474 (1981) Сверено 20.09.2026

    It is argued (though not conclusively) that Gauss probably possessed the method well before Legendre, but that he was unsuccessful in communicating it to his contemporaries.

  «Сверено» значит, что в этот день цитата была найдена по указанному адресу дословно. Отсутствие даты значит, что мы пока не смогли открыть источник, а не что цитата неверна.

• «Математические начала натуральной философии»

  повлияло на · Уверенность: низкая

  Гаусс в предисловии «Theoria motus» называет ньютоновское доказательство движения по коническим сечениям тем, что обобщило задачу определения орбиты, и именно такую орбиту он подгонял к наблюдениям; независимый источник связи не найден, свидетельство исходит от самого Гаусса.

  Спор: Ньютоновская постановка прослеживается только у Гаусса. Книга Лежандра 1805 года озаглавлена как работа об орбитах комет, однако сам метод изложен в приложении «Sur la méthode des moindres quarrés» и показан там на числовом примере из французских меридианных измерений, то есть на задаче о фигуре Земли, а не о кометной орбите, поэтому на Лежандре эта преемственность не держится.

  Источники связи

  • Carl Friedrich Gauss, Theory of the Motion of the Heavenly Bodies Moving about the Sun in Conic Sections, перевод Charles Henry Davis, Boston 1857, предисловие (копия MacTutor, University of St Andrews) (1857) Сверено 25.09.2026

    On the other hand, Newton, starting from the principle of universal gravitation, demonstrated à priori that all bodies controlled by the attractive force of the sun must move in conic sections, of which the planets present one form to us, namely, ellipses, while the remaining forms, parabolas and hyperbolas, must be regarded as being equally possible, provided there may be bodies encountering the force of the sun with the requisite velocity;

  «Сверено» значит, что в этот день цитата была найдена по указанному адресу дословно. Отсутствие даты значит, что мы пока не смогли открыть источник, а не что цитата неверна.

Что из него выросло

• «Sur l'homme»: закон ошибок астрономов, приложенный к людям

  повлияло на · Уверенность: средняя

  Кривая ошибок, которой астрономы и геодезисты описывали разброс измерений (Гаусс, Лежандр), у Кетле впервые приложена не к ошибкам наблюдения, а к разбросу признаков в человеческой популяции. Браш прямо пишет, что закон, открытый Адрэном и Гауссом, «extensively applied by Quetelet». Связь проведена как влияние, а не как предпосылка: сам метод наименьших квадратов Кетле не использовал, он взял из той же традиции распределение ошибок.

  Спор: Цитата Браша утверждает связь Гаусса и Кетле попутно, внутри фразы о Максвелле; отдельной работы историка, где разбиралось бы, что именно Кетле взял из теории ошибок Гаусса и Лапласа, а что из практики Лапласа по демографии, здесь не читалось. Наименьшие квадраты в ядре это метод, а не распределение ошибок как таковое, поэтому связь названа влиянием и уверенность средняя.

  Источники связи

  • Stephen G. Brush, History of the Kinetic Theory of Gases (Storia della Scienza, vol. 7, ch. 44) (2004) Сверено 20.09.2026

    The crucial step was his translation of the 'normal distribution law' or 'law of errors,' discovered by Adrain and Gauss and extensively applied by Quetelet, into a distribution law for molecular velocities.

  • J. J. O'Connor, E. F. Robertson, Adolphe Quetelet, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (2006) Сверено 20.09.2026

    Influenced by Laplace and Fourier, Quetelet was the first to use the normal curve other than as an error law.

  «Сверено» значит, что в этот день цитата была найдена по указанному адресу дословно. Отсутствие даты значит, что мы пока не смогли открыть источник, а не что цитата неверна.

• Коэффициент корреляции Пирсона и критерий хи-квадрат

  повлияло на · Уверенность: средняя

  Пирсон подгонял регрессионные кривые способом наименьших квадратов, но задача у него была другая, чем у Лежандра и Гаусса. Эйзенхарт формулирует это как расширение за пределы исходной постановки: в классической задаче одна переменная измерялась без заметной ошибки, а вторая с ошибкой, тогда как в гальтоно-пирсоновской ситуации обе величины у отдельной особи измеримы точно, но в популяции имеют совместное распределение.

  Спор: Эйзенхарт подчёркивает именно различие двух постановок, а не заимствование: сам Пирсон предпочитал метод моментов, и, по его словам, «Pearson clearly favored his method of moments; but the method of least squares has prevailed». Поэтому связь проведена как влияние и уверенность средняя: наименьшие квадраты дали язык и вычислительную технику, но не были для корреляции предпосылкой.

  Источники связи

  • Churchill Eisenhart, статья «Pearson, Karl», Complete Dictionary of Scientific Biography (перепечатка Encyclopedia.com) (2008) Сверено 20.09.2026

    However, use of the method of least squares to fit polynomial regression curves in a bivariate correlation situation involves an extension beyond the original formulation and development of the method of least squares by Legendre, Gauss, Laplace, and their followers in the nineteenth century.

  • Churchill Eisenhart, статья «Pearson, Karl», Complete Dictionary of Scientific Biography (перепечатка Encyclopedia.com) (2008) Сверено 20.09.2026

    In this classical development of the method of least squares, one of the variables-x, for example—was a quantity that could be measured with negligible error, and the other, y, a quantity of interest functionally related to x, the observed values of which for particular values of x, Yx, were, however, subject to nonnegligible measurement errors.

  • Churchill Eisenhart, статья «Pearson, Karl», Complete Dictionary of Scientific Biography (перепечатка Encyclopedia.com) (2008) Сверено 20.09.2026

    In the Galton-Pearson correlation situation, in contrast, the traits X and Y may both be measurable with negligible error with respect to any single individual but in some population of individuals have a joint frequency or probability distribution.

  «Сверено» значит, что в этот день цитата была найдена по указанному адресу дословно. Отсутствие даты значит, что мы пока не смогли открыть источник, а не что цитата неверна.

Источники узла

• A. Abdulle, G. Wanner, 200 years of least squares method, Elemente der Mathematik 57, 45-60 (2002) Сверено 20.09.2026

  In 1805 appeared the work Nouvelles méthodes pour la determination des orbites des comètes by A.-M. Legendre, containing in an appendix an extremely beautiful presentation of the méthode des moindres quarrés.

• A. Abdulle, G. Wanner, 200 years of least squares method, Elemente der Mathematik 57, 45-60 (о притязании Гаусса) (2002) Сверено 20.09.2026

  Despite of Legendre's work, Gauss called, in his famous treatise [9] Theoria motus corporum celestium, published 1809, obstinately the least squares idea 'my principle, which I have made use of since 1795'.

• Stephen M. Stigler, Gauss and the Invention of Least Squares, Annals of Statistics 9 (3), 465-474 (1981) Сверено 20.09.2026

  The most famous priority dispute in the history of statistics is that between Gauss and Legendre, over the discovery of the method of least squares.

• Stephen M. Stigler, Gauss and the Invention of Least Squares, Annals of Statistics 9 (3), 465-474 (вывод автора) (1981) Сверено 20.09.2026

  It is argued (though not conclusively) that Gauss probably possessed the method well before Legendre, but that he was unsuccessful in communicating it to his contemporaries.

«Сверено» значит, что в этот день цитата была найдена по указанному адресу дословно. Отсутствие даты значит, что мы пока не смогли открыть источник, а не что цитата неверна.

Открыть этот узел на карте · Wikidata: Q74304